Een irrationeel getal is een getal niet kan uitgedrukt worden door een breuk waarbij p en q integers zijn. Irrationele getallen hebben een decimale uitbreiding die niet eindig is of periodiek . Elk transcendenteel getal is irrationeel.

Het meest bekende irrationeel getal is , som dePythagoras's constante genoem. De Legende vertelt dat de leerling van Pythagoras de filosoofHippasus een geometrische methode gebruikte om de irrationale eigenschap van aan te tonen en dit op zee , zodat zijn vrienden ,fanatieke leerlingen van Pythagoras , hem bij deze belangrijke ontdekking overboord smeten. Ander voorbeelden zijn , e, , etc. De Erdos-Borwein constante

(Erdos 1947) en een verzameling van veralgemening hiervan (Borwein 1992) zijn ook gekend als irrationeel (Bailey en Crandall 2001).

Getallen van de vorm zijn irrationeel tenzij n de mde macht is van een integer. Getallen van de vorm , waarbij het logaritme is, zijn irrationeel als m en n e integers zijn, een van beide heeft een priem factor waarbij de andere geen. is irrationeel voor rationele getallen . is irrationeel voor elke niet-negatief rationeel getalr (Niven 1956, Stevens 1999), en (waarbij gemeten wordt in graden ) is irrationeel voor elk rationeelgetal met de uitzondering voor (Niven 1956). is irrationeel voor elk rattioneel getal (Stevens 1999).

De irrationaliteit van e is bewezen door by Euler in 1737. is irrational voor positieve integrale getallen n. De irrationaliteit van is bewezen door Lambert in 1760. Apéry's constant (waarby deRiemann zeta function is ) is bewezen irrationeel te zijn by Apéry (Apéry 1979, van der Poorten 1979). als toeveogen heeft T. Rivoal (2000) recent bewezen dat er oneindig aantel integers n zodat irrationeel zijn . Als bijlage heeft hij aangetoond minstens een van , , ..., irrationeel zijn (Rivoal 2001).

Vanuit Gelfond's theorem, een getal met de vorm is transcendenteel (en daarom ook irrationeel) als a algebraisch bij ,1 en b irrationeel en algebraisch. Dit creert de situatie van de irrationaliteit van Gelfond's constant (daar), , en. Nesterenko (1996) bewees dat irrationeel is. In feite, hij bewees dat, en algebraisch onafhangkelijk zijn, maar er was nog niet gesteld dat irrationeel zijn.

Gegeven de polynomische vergelijking

waarbij integers zijn , dan zijn de wortels ofwel integralen of irrationeel.

Als irrationeel is , dan is dit ook zo voor , , en.

De Irrationaliteit is nog niet vastgesteld voor , , , of (waar de Euler-Mascheroni constant is).

Hurwitz's irrationeel getal theorie geeft een bounds van de vorm

voor het best benaderde breuk for een willkeurig irrationeel getal, waar de Lagrange getallen zijn en steeds groter is voor elk 'slechte ' paar van irrationele getallen dwelke zijn uitgesloten.

De serieën

waae de divisor function is, is irrationeel voor k = 1 en 2, en de serieën

waar d(n) het getal is van de breuk van n, zijn ook irrationeel (Guy 1994).

Algebraisch Integer, Algebraisch Getal, Bijna Integer, Decimale Uitbreiding, Dirichlet Function, e, Ferguson-Forcade Algorithm, Gelfond's Theorie, Hurwitz's Irrationeel Getal Theorie, Bijna Nobel Getal, Nobel Getal, Pi, Pythagoras's Constante, Pythagoras's Theorie, Regulier getal, Repeterend Decimaal, q-Harmonic Serie, Quadratic Irrationeel Getal, Rationeel Getal, Segre's Theorie, Transcendenteel Getal